到底要有多少人在場「有兩人同一天生日」的機率才會大過50%?

到底要有多少人在場「有兩人同一天生日」的機率才會大過50%?
Photo Credit: Kerek Wongsa / REUTERS / 達志影像
我們想讓你知道的是

根據組合法則,相互作用的元素之間彼此的組合方式,會隨著元素的數量變多而呈指數增加,「生日問題」正是著名的例子

撰文:漢德(David J. Hand)
翻譯:鍾樹人

重點提要

  • 人們以為鮮少發生的事,其實天天都在我們身邊上演。數學上的巨數法則和組合法則可解釋箇中原因。
  • 一個房裡只要有23個人,其中有兩人同一天生日的機率就會達到0.51,比一半還高。
  • 保加利亞的樂透在2009年9月6日隨機開出的中獎號碼為4、15、23、24、35、42,同樣的一組號碼在四天之後又開出了。美國北卡羅來納州的樂透「現金5」也曾在2007年7月9日和11日開出相同的中獎號碼。奇怪嗎?根據機率的原理,並不奇怪。

有一組數學法則,我稱之為「不大可能原理」(Improbability Principle),根據這套原理,我們其實不該對巧合感到訝異,事實上還應該期待巧合的發生。這套原理的關鍵之一是巨數法則(law of truly large numbers)。根據巨數法則,不管一件事有多麼不可能發生,只要給予足夠多的機會,應該就可以期待它會發生。但是有的時候即使機會其實很多,看起來卻像是很少。這種錯覺會導致我們大幅低估事件發生的機率:也就是原來以為極不可能發生的一件事,事實上卻極有可能發生,也許還幾乎是必然發生。

但是機會如何在人們不知不覺的狀況下大量出現呢?與「不大可能原理」相關的組合法則(law of combinations)指出了其中的道理。根據組合法則,相互作用的元素之間彼此的組合方式,會隨著元素的數量變多而呈指數增加。「生日問題」正是著名的例子,它的內容是︰

在一個房間裡至少要有多少人,「最少兩人同一天生日」的機率才會高於「沒有人同一天生日」的機率?

答案是只要23人。如果房間裡有23人或更多的人,「最少兩人同一天生日」的機率就會高於相反的狀況。

從沒聽說過生日問題的人,可能會大吃一驚,因為23聽起來是個相當小的數字。一般人可能這樣推論:房間裡任何一個特定的人,只有1/365的機率可能和我同一天生日;所以任何特定的人和我不同天生日的機率是364/365。如果房間裡面有n個人,其他n-1個人當中的每一個,和我不同天生日的機率都是364/365,所以這n-1個人全部和我不同天生日的機率會等於︰

364/365 × 364/365 × 364/365 × 364/365 × ... × 364/365

也就是把364/365乘上n-1次。如果n等於23,這樣相乘得出的乘積為0.94。

由於這是沒有任何人和我同一天生日的機率,那麼至少有一人和我同一天生日的機率,就是1-0.94。因為狀況只有兩種,不是有人和我同一天生日、就是沒有人和我同一天生日,所以這兩種狀況的機率相加必然等於1。1-0.94=0.06,這是個很小的數字。

不過上面的計算並不正確,因為這個數字是有人和你同一天生日的機率,並不是生日問題所要的答案。生日問題問的是:同一個房間裡任何兩人同一天生日的機率。其中當然包括有人和你同一天生日的機率,也就是剛剛計算的結果。只是除了你的生日之外,其他任何兩人或更多人同一天生日的機率也必須加進來。

接下來輪到組合法則登場了。雖然房間裡可能和你同一天生日的人只有n-1位,不過兩人一組的組合方式卻總共有n×(n-1)/2種。這個數字會隨著n變大而快速增加。當n等於23,組合方式有253種,超過n-1(即22)的10倍以上。也就是說,當房間裡有23個人,兩人一組的方式總共有253種,但其中包括你在內的只有22組。

讓我們來看看房間裡23人當中沒有任何人同一天生日的機率。對任何兩人來說,第二個人和第一個人生日不同的機率為364/365。這兩人的生日不同而且第三人與這兩人的生日也不同的機率,會是364/365 × 363/365。同樣地,這三人生日不同、而且第四人與這三人的生日也不同的機率,是364/365×363/365×362/365。依此類推,則23人當中沒有人同一天生日的機率就是︰

364/365 × 363/365 × 362/365 × 361/365 × ... × 343/365

乘積算出來為0.49。由於23人當中沒有人同一天生日的機率是0.49,所以有人同一天生日的機率就是1-0.49,等於0.51,超過一半。

本文獲《科學人雜誌》、《科學人粉絲團》授權刊登,原文刊載於此

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責任編輯:朱家儀
核稿編輯:翁世航

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