美遊戲節目主持人逝世,以他命名的「蒙提霍爾問題」你弄懂了嗎?

美遊戲節目主持人逝世,以他命名的「蒙提霍爾問題」你弄懂了嗎?
Photo Credit: MediaPunch / IPX / Reuters / 達志影像
我們想讓你知道的是

遊戲節目主持人蒙提霍爾逝世,不少人會記住以他命名的「蒙提霍爾問題」,曾引起了一場關於數學的論爭。

美國電視節目主持人蒙提霍爾(Monty Hall)於剛過去的星期日(9月30日)因心臟衰竭逝世,享年96歲。

霍爾在加拿大出生,父母屬正統派猶太人。他大學主修化學及動物學,畢業後希望考進醫學院,但因當時醫學院為猶太裔學生設下限額,令他無法入讀。

於是霍爾放棄讀醫的夢想,轉向表演事業發展。大學時期他已經活躍於學生劇場,並曾在一家電台工作,畢業後霍爾曾短暫於加拿大小麥局工作,其後搬到多倫多工作,開始主持電台及電視節目。

1955年,霍爾搬到紐約市,開始主持美國的電視遊戲節目。1963年霍爾主持其參與創作遊戲節目《來做個交易》(Let's Make a Deal)走紅,多年來主持近4000集。1990年,《NBC》希望重推此遊戲節目,找來另一遊戲節目主持,惟收視不佳,電視台最終找回霍爾以「客席主持」身份亮相,主持節目數個月。

蒙提霍爾問題

《來做個交易》非常流行,以致後來有一條經典概率問題以蒙提霍爾命名︰

假設你參與一個電視遊戲節目,在你面前有三道門,其中一道門後面是大獎汽車,其餘兩道門後是安慰獎山羊(每道門後有大獎的機率均為1/3)。

主持人蒙提霍爾向你解釋遊戲規則︰你首先選其中一道門(假設是1號門),然後他會打開另一道背後是山羊的門(假設是2號門)。餘下只有兩道門,而你有一次機會可以改變選擇,你應該維持選擇1號門,抑或「變心」選3號門?

當然,主持人知道哪一道門後有汽車,所以他不會打開有汽車的門。如果餘下兩道門都是山羊,他會隨機決定開其中一道,機率各為50%。

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Image Credit: Cepheus, Public Domain

乍看之下,兩道門背後是大獎的機率相等,轉換選擇不會增加獲獎機會。如果你這樣想,答案可能令你驚訝︰不換門的話,得獎機率是1/3;換門的話得獎機率是2/3。換言之,改變選擇的得獎機會要高出1倍。

最高智商的專欄作家

統計學家薩爾文(Steve Selvin)在1975年曾兩次投稿到期刊《美國統計學家》(The American Statistician)討論蒙提霍爾問題,可算是最初提出者。在第一篇文章中,薩爾文透過遊戲節目主持「蒙地霍爾」(Monte Hall)及參加者的對話帶出問題,第二篇文章則首次用上「蒙提霍爾問題」這個名字。

另外,蒙提霍爾問題也跟伯特蘭盒悖論(Bertrand's box paradox)和數學作家葛登能(Martin Gardner)提出的三囚犯問題(Three Prisoners problem)類似。

不過問題要到1990年,作家莎凡特(Marilyn vos Savant)於《漫步》雜誌(Parade)上討論解決辦法時,才開始引起大眾注意。

根據《健力士紀錄大全》,莎凡特是最高智商的人(但健力士方面自1990年起取消最高智商的類別,因為智商測試並不足以指定單一紀錄保持者)。她自1986年起在《漫步》撰寫專題,回答讀者問題。

一場數學爭論

1990年9月,一名讀者向莎凡特問了蒙提霍爾問題,她簡短回答︰

是的,你應該改選另一道門。第一道門(最初選擇的門)有1/3機會勝出,但第二道門(餘下那一道)有2/3機會。也可以用以下方式想像問題。假設有100萬道門,你選了1號門,主持人——知道門後有甚麼,會避免打開有大獎的門——打開了777,777號門(和1號門)以外的門。你一定會很快改選這道門吧?

莎凡特是正確的。

我們也可以從另一個角度理解這問題。當主持人打開2號門後,只餘下你原本選擇的1號門,以及3號門。為甚麼主持人沒有打開3號門?有兩個可能(括號內為機率)︰

  • 3號門有獎品(1/3);
  • 1號門有獎品,而主持人剛好選擇了打開2號門(1/3×1/2 = 1/6)。

由此可見,3號門有獎品的機率要高出一倍。(兩個情況的機率加起來是1/2,因為還有另外兩個可能情況是主持人打開了3號門。)

起初莎凡特一些讀者回應,認為她錯了。她在其後的專欄刊出其中三名博士的回應,並列表詳細解釋為何改選另一道門獲獎機率較高。

然後她收到大量讀者批評和「指正」她,當中不少註明自己擁有博士學位,例如其中一個自稱來自美軍研究所的夏文(Everett Harman)博士寫道︰「你犯了錯,但從好的方面看,如果這些博士都錯了,我們國家會有很大問題。」。

有部份讀者回應比較溫和,但也人不太客氣,甚至帶歧視成份。例如有人簡單留下一句「你就是那山羊!」,亦有人說「也許女人看數學問題跟男人不同」。

莎凡特在專欄中表示,她收到數以千計的信件,幾乎所有都堅持她是錯的,包括美國國防訊息中心副總監及國立衛生研究所的統計學家。莎凡特更做了點統計︰整體而言,92%信件反對她的答案,而來自大學的信件中,則有65%認為她是錯的。

到1991年7月《紐約時報》報道是次爭議時,莎凡特更估計她收到上萬封信件。

霍爾的模擬實驗

在同一個月份,「主角」霍爾在他的飯廳模擬了蒙提霍爾問題,他在桌上放了三張小卡紙代表門、車匙代表汽車、葡萄乾及糖果代表山羊。這特備節目的「參加者」首10次堅持不改選,4次贏得「汽車」、6次贏得「山羊」;另外10次聽從莎凡特的建議,獲大獎比率倍增,8次贏得「汽車」、2次贏得「山羊」。

再一次印證莎凡特是對的。

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