第一次數學危機:差點逼瘋畢達哥拉斯的√2

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我們想讓你知道的是

作者介紹第一次數學危機時,發現無理數的故事,包括差點逼瘋畢達哥拉斯的√2。

本集是【電腦是怎麼來的?】系列第三集。

讓腦海裡裝滿了哲學家對於探索世界的渴望(當然,也別忘記我們在前一篇文中介紹的哲學家理念),我們換一個領域,來看看歷史上三次的數學危機,是如何逢凶化吉……噢不,是如何藉由一次次概念上的突破,最後才催生出最初的電腦概念吧。

大家都知道數學很重要,但數學到底為什麼重要?讓小時候的我們(說不定到現在仍是)困惑已久的一個問題是:只要知道加減乘除在日常生活能使用就好了,為什麼要學三角函數、排列組合、微積分、線性代數?但如果我們更進一步問:要怎麼知道這世界上有無理數?為什麼1+1=2?(啊災,幼稚園老師說1+1=3是錯的所以它就是錯的)

因為我們不瞭解數學、不瞭解數學背後探求宇宙真理的精神、與數學大廈真正的基礎,才會受於思考上的限制。

今天要介紹的是第一次數學危機時,發現無理數的故事,包括差點逼瘋畢達哥拉斯的√2。

數學是怎麼來的?

在沒有數字的概念之前,人類對於自然界中的增減、多寡,僅有一種朦朦朧朧的感覺。到人類發展出一套抽象的數字後,已經是很久以後的事情。

如同數學家羅素所言:「人類花了數千年的時間,才理解兩隻雞的『2』和兩天的『2』是一樣的。」有了抽象數字後,才帶來了更多商業和科學上的應用。」然而數學的發展,最早即源於人們對於計量的需要。

計量有兩種,第一種是「計數」,古代的結繩法就是一種計數方法:有一個東西就打一個結,再有一個就再打一個結。或牧羊的時候,將一頭羊就對應一顆小石子,當傍晚把羊牽回來時,再一一拿石頭對應羊的數目,如果有多的石頭就知道有羊走失了。

第二種計量方法是「測量」。比如:一條直線的長度、一個區域的面積、一個容器的體積……長度、面積、體積都是測量出來的結果。

有關計數和算術的基本概念,似乎是所有人類文化都有的共通特徵,算術和計數工具更是早於文字的出現。人類學家在許多史前時代的文物中便已經發現有關數學活動的蹤跡,時間甚至可以追溯至37,000年前的非洲。

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距今3萬7千年前在非洲發現的Lebombo Bone和Ishango Bone是迄今為止知道的最早的計數工具。

另外,約莫在4,000年前的埃及數學便已經是一個發展完備的學科,內容和今日我們小學、中學學習的計算和幾何知識。(天啊原來我的智商跟四千年前的人差不多)

從埃及、巴比倫、印度、中國……古代文明不乏有數學活動,然而希臘數學之所以獨立於這些文明,是因為他們將「邏輯論證」擺在數學的中心位置,真正改變了什麼叫做數學。

第一次數學危機:無理數的發現

有了數之後,我們也對此有了幾何上的解釋:把數字與一條直線上的點一一對應起來,就成了數軸。若我們取一個整數5,也就是取直線上單位長度為5的點。至於分數3/5,則是對單位長度進行5等分、再取其中的3等分。

藉由數軸,我們成功將「計數」和「測量」這兩個問題結合在了一起。所有的數字都能在數軸上的點上面找到。一切都十分合理且完美,以至於正整數和正整數比在當時被稱為「有理數」(Rational Number)。

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可以把負數看成相對應正數的「鏡數」,往反方向無限延伸。可以在兩個分數之間找到另一個分數,甚至可以找到無限多個分數,比如1.5和1.75之間必可以找到1.6……這樣看來,有理數會形成一個龐大又稠密的集合,彼此間毫無空隙。

還記得我們先前提過的畢達哥拉斯學派嗎?畢氏學派是一群古怪的人,他們的哲學是大雜燴;有些東西我們現在歸為數學、有些視為哲學;有些視為宗教、有些視為神經病。(他們相信豆子藏有死者的靈魂,所以不能吃豆子。)

總之,這個拜數狂熱教派信奉「萬物皆數」,因此認為宇宙間的各種關係都可以用正整數與其比例,也就是使用「有理數」來表達。

為了論證數本原說,畢達哥拉斯學派提出萬物(這裡還可理解為表述萬物的語言的意義)與有理數在結構上是相似的,比如音樂。

只可惜,有一個怪異的數字破壞了這一切美好——√2。

傳說中,畢達哥拉斯發現了著名的畢氏定理:直角三角形兩邊長平方和等於斜邊長平方,卻也震驚地發覺到:邊長為1的直角三角形,其斜邊長無法用正整數和分數這樣的有理數來表達。

√2雖然不是有理數,卻也能用尺規作圖的方式將它畫在數軸上,顯然也是數軸上的一個點。

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這摧毀了畢達哥拉斯的完美立論,居然有一個點是不能用單位長度來測量!也就是說無論數軸上的刻度多精確,也不會有一個刻度能正好落在√2這個點上。畢達哥拉斯本人也痛苦地證明了這點。

為免讓學派基礎瓦解,畢氏學派的人們小心翼翼地維護著這個秘密。相傳畢達哥拉斯有一位學生希帕索斯(Hippasus)無意中對外人洩漏了這個驚人秘密,因而以「瀆神」的罪名被扔到地中海裡。坐觀海景第一排……人們也將√2、π這類數稱為「無理數」(Irrational Number),在希臘時代稱為不可公度量(incommensurable number)。

第一次數學危機的解決,是在公元前370年,由希臘人歐多克索斯(Eudoxus)透過「比例論」,解決了無理數的問題。

來看看他是怎麼想的:

圓面積的公式為:面積(A)=圓周率(π)x半徑(r)平方

但問題來了,A是一個無理數耶?該怎麼處理它呢?

可以這樣想——如果A1和A2是這兩個圓的面積:

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也就是說,「兩個圓面積」等於「兩個正方形面積」之比。從這一定義出發,可以推出有關比例的若干命題,而不必考慮這些量是否為有理數,巧妙避開了無理數這一醜聞,緩解了這次數學危機。

不過歐多克索斯理論是建築在幾何量的基礎上,迴避了把無理數作為數來處理。「宇宙萬物皆為整數或整數比」的錯誤還是沒有解決。這是因為希臘人欠缺代數語言,也就是無法把事物的關係抽象出來,用兩個變數來表達。所以希臘數學基本上就是圍繞著幾何學。

到了柏拉圖和亞里斯多德的時代,當時希臘公民的基本教育,就已經包含了不可公度量的存在。柏拉圖和亞里斯多德都曾用它作為例子,來說明某種東西在感官世界沒有證據,卻能被理性所發現。

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柏拉圖認為:除非我們具有理性的「理型」,否則當我們試著探索那些圍繞我們身邊的事物的本質以及分類他們的方式,我們將會徹底失敗而一無所知。

亞里斯多德則認為人類具有理性靈魂,主要表現在思維、理解、判斷等方面,是人類最高級的靈魂。

要對無理數給出現代的解釋,是在兩千多年後,1872年德國數學家戴德金(Dedekind)承襲了歐多克索斯的思想、發表了一篇著名的論文《連續與無理數》,無理數才有了完整的理論。

要證明無理數的方式如下——在不預先假定無理數存在的條件下,建立一個令人滿意的無理數理論;然後把無理數和有理數合在一起,構成實數。之後為實數建立一個可靠的連續性理論。只有這樣,才能很好地分析實數集合成直線的點集合。

來看看戴德金的想法吧:

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這邊就不介紹戴德金的論文細節了。簡單來說,戴德金提出了戴德金分割(Dedekind Cut)——假設我們把0到1的線段切斷,切斷的斷點都是有理數,左端線段的斷點是其上最大的有理數a、右端斷點是最小有理數b。

但問題來了,中間必然有(a+b)/2的值存在啊?這樣就矛盾了。

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所以要麼斷點只有一個有理數存在,要麼不存在有理數。那不存在有理數,這條線又是連續的,所以是存在什麼呢?我們稱為無理數。

一條線上,是由有理數和無理數所構成的。對線段一刀切下去,要麼會切到有理數,沒切到有理數的地方就是無理數。

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戴德金分割示意圖

重點是有理數雖然多到在數線上滿滿的、是稠密的,但它們彼此並不連續,沒辦法形成一個連續統(continuum)。有理數和有理數之間的洞,都是由無理數填補起來的。這條線我們就稱為實數線,實數由有理數和無理數所構成。

至此,才確立的無理數在數學中的合法地位,真正徹底解決了第一次數學危機。

第一次數學危機雖然被稱作「危機」,卻也是讓哲學家們能往前思考的一大啟發:直覺和經驗不一定準確,唯有推理和證明才是真正可靠的。

古希臘人透過了推理和演繹,方建立了亞里斯多德的邏輯體系、與歐幾里德《幾何原本》的公理體系。

除了古希臘以外,中國、印度、埃及等早期人類文明沒有一個經歷過這樣的思想上革命。在其他地方,數學只是日常計算的工具;希臘人則將哲學與數學結合,將數學視為探求真理、解開宇宙之謎的一種手段。

也因此,歐洲成為唯一一個發展出科學觀的區域。

三大無理數—Π、Φ、E

最後,來為大家介紹一下著名的三大無理數——圓周率π、黃金比例Φ和自然對數的底數e吧。

在西元前1650年,古埃及人在《萊因德數學紙草書》上已經找到π值為,約莫為3.16049,和正確值只差0.06%。三千年前人們的數學簡直令人稱奇。

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Rhind Mathematical Papyrus,最初由盜墓者從底比斯的拉美西斯神廟挖出, 後由蘇格蘭收藏家Rhind購得,現藏於大英博物館。

不過當時的人們找π值,都是靠直接測量圓周與直徑的長度。真正用數學方式推導出來,還是古希臘人做到。這個人就是發現浮力和槓桿的原理,大名鼎鼎的阿基米德。他曾說過知名的一句:「給我一個支點,我就能移動地球。」(“Give me a place to stand on, and I will move the Earth.”)

阿基米德的方法如下:在一圓內作內接多邊形,找到無限大、能把圓貼實的一個,再把多邊形的邊長除以直徑,就可以求得接近的π。

阿基米德算到正96邊形,求得近似值3.14103。然後再用同樣的方法,在圓外作外切多邊形,同樣算到正96邊形,求得3.14271。

所以我們能確定,π的值就介於3.14103與3.14271之間。

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阿基米德的方法較前人更為突破的原因,是因為有了對圓周率確定的算法——要找到更精準的值,就把正多邊形的邊數取到越大即可。用現代的方法來說,π是變數無限大的值。

接著,來看看傳說中的黃金比例吧。

把一個線段分成a和b兩段,a較長b較短。然後使線段全長(a+b)與較長段a之比,等於長段a和短段b之比。

即(a+b)/a=a/b。這個就是黃金比例,比值以希臘字母Φ(phi)表示。

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解開x約莫等於0.061803。所以Φ=/x約為1.61803……。

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古希臘人已經知道黃金比例了,許多藝術家認為長寬比為Φ的長方形是最順眼的形狀。古希臘的帕德嫩神殿和文藝復興時期的藝術家達文西在藝術上都運用到了這種特性。

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而人們也在植物和自然現象中發現符合黃金比例。你也可以拿這個去分析一個人的臉怎樣才算美麗。

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最後,e作為自然對數的底數,在微積分中扮演著重要的角色。

(1+1/n)的n次方、n趨近於無限大時,會以e作為極限值:

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e約等於2.718281……。

這個數字在金融業有著意想不到的應用。假設你到一家銀行存款,年利率為100%,且連續複利(也就是每秒都在複利,不是每年或每季才配息一次)。你覺得本利和會越滾越多,是不是沒有上限呢?

事實上,並不是噢。(以下說明與圖片參考An Intuitive Guide To Exponential Functions & e

假設你在銀行存了1元,然後銀行的利率高達100%(別問我去哪找這麼佛心的銀行,只存在在假設中)

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一年後配息,我們會得到2元。

成長率(growth)公式是這樣的:

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可以簡化成:

333
單次使用

假設銀行願意把配息的時間縮短為半年,我們拿到利息時、又可以再把利息存入,最後使得1年存款餘額為2.25元。

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後來銀行又再把時間縮短,每4個月就付一次利息,我們又把利息存回銀行、讓利滾利,最後年底的存款餘額約莫為 2.37 元。

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假設銀行經理佛心到極致,願意一年內配給你100萬次100%利息、你也通通都把它存進去,結果我直接幫大家算好了,(1+(1/1000000))^1000000=2.7182804691……

年利率為1(100%)的存款,利滾利到無限大,本利和等於e,也就是2.72多元。等等,在這裡,我們都提到了一個概念——「無限」。這個概念將會是17世紀時,用來建立微積分的基石。當時,萊布尼茲和牛頓提出了微積分,然而在基本定義上卻出現了問題,導致整個微積分邏輯基礎是不穩固的。也就繼無理數之後,又爆發了第二次的數學危機——無限小/無限大。

讓我們在下一篇開始跟大家繼續述說這個故事吧!


題外話:

Google在2004年的首次公開募股,所訂定的募資額並不是正常的整頭,而是$2,718,281,828。

看出來了嗎?這是取最接近e的十億美元。而Google在2005年的一次公開募股中,募資額是$14,159,265,與圓周率π有關。

是不是很鬧~

本文經寫點科普,請給指教授權刊登,原文刊載於此

責任編輯:朱家儀
核稿編輯:翁世航

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