這位自學出身的印度天才,筆記本裡寫滿了有關數的神秘定理

這位自學出身的印度天才,筆記本裡寫滿了有關數的神秘定理
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這位自學出身的印度數學天才,在大約一個世紀之前提出某些神秘的主張,據他在英國的合作對象哈迪所言,這些主張「看起來令人難以置信」。但他的研究開啟了全新的數學領域,也啟迪後世提出許多理論,其中有些理論的提出者還贏得數學界的諾貝爾獎──費爾茲獎。

撰文:布雷契(Ariel Bleicher)
翻譯:鍾樹人

重點提要

  • 自學出身的印度天才拉曼努金,在筆記本裡寫滿了有關數的神秘定理,其中有許多已證明是對的,並在後來開啟了全新的數學領域。
  • 現任職於美國艾茉利大學的數學家小野健,運用拉曼努金未發表的論文裡一些先前未獲認可的見解,與同事一起得到驚人的發現。
  • 這些發現不僅解開了有關函數這項數學機制的重大謎題,也可能讓我們發展出能更安全加密電腦資料的方式,或是研究黑洞的新方法。
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已故數學天才拉曼努金(Srinivasa Ramanujan)

1984年,小野健(Ken Ono)還是中學生,與家人住在美國巴爾的摩。某個週六清晨,他打開家裡的信箱,看見一個像米紙一樣薄的信封,上面貼滿色彩豔麗的郵票,收件人是他父親──一位沉默寡言的日裔數學家。小野健把信交給父親,他父親從一貫用來計算方程式的黃色筆記本上抬起頭,放下手中的原子筆,輕柔拆開信封,展開裡面的信。

信的開頭是這樣寫的:「親愛的先生,我了解……由於您的出力,才促成了我丈夫的紀念雕像……對此我深表感激。」信的署名是阿瑪歐(S. Janaki Ammal),透過紅色墨水印成的信頭可認出來,她是已故數學天才拉曼努金(Srinivasa Ramanujan)的遺孀。

這是小野健第一次聽到傳說中的拉曼努金。這位自學出身的印度數學天才,在大約一個世紀之前提出某些神秘的主張,據他在英國的合作對象哈迪(Godfrey Harold Hardy)所言,這些主張「看起來令人難以置信」。但他的研究開啟了全新的數學領域,也啟迪後世提出許多理論,其中有些理論的提出者還贏得數學界的諾貝爾獎──費爾茲獎(Fields Medal)。

小野健後來持續深造,成為數學家,現在是美國艾茉利大學的數論教授,但他在學習數學的過程裡,並沒有注意拉曼努金,因為就他所知,這位「數學天才」沒有在自己專攻的數論「模形式」(modular form)留下新見解,模形式是以驚人的對稱性而聞名的抽象二維物件。

1998年,小野健29歲,拉曼努金以澎湃之姿重新出現在他的生命中。伊利諾大學香檳分校的數學家伯恩特(Bruce C. Berndt)在編撰這位天才的作品集時,發現一份之前被大多數人忽略的手稿。因為這篇論文處理的是模形式,伯恩特覺得小野健或許能解釋其中一些怪異的主張,於是掃描成電子檔案以電子郵件寄給他。

小野健讀到這篇論文的三分之二處就停了下來。拉曼努金以學生似的整齊筆跡,寫下六條大膽的數學敘述,這些敘述和小野健的專業有關,使他覺得它們簡直怪異到了極點。

小野健驚訝莫名,他很確定這些敘述是錯的:「我看著它們,然後說『不可能,這是鬼扯。』」

他的第一個念頭是想證明拉曼努金錯了。

拉曼努金如何想出他寫下的這些數學?至今仍然是個謎。他透過一本過時的英文指南自學,在20幾歲時,他一邊在政府部門擔任職員,一邊開始寫信把他的想法告訴英國多位數學家。拉曼努金只收到一個回覆,就是當時正嶄露頭角的哈迪,他邀請拉曼努金到英國劍橋大學與他共事。拉曼努金在海外待了三年之後,在第一次大戰期間,因為食物不足而病倒,他拖著憔悴、瘦弱又發燒的身體返回印度,在1920年過世,享年32歲。除了已發表的37篇論文,拉曼努金留下不少信件、未完成的手稿,以及三本精裝的皮面筆記本。

哈迪與其他人在檢視這些文件時,注意到他重新發現了古典定理,也就是有關數如何表現的規則,這些規則最早是由該領域的頂尖數學家寫下的,但拉曼努金注意到更多其他人沒看到的模式。訓練有素的數學家知道必須透過證明來支持自己的發現,也就是透過一連串的邏輯推論來說服同事,讓自己的發現為真。但拉曼努金並沒有如此大費周章,他把一長串又一長串的定理,以及在腦海中或小黑板上推演出來的計算,在筆記本裡寫滿了一頁又一頁,卻很少停下來解釋他是如何得出這些結論。單單三本筆記本,就包含了3,000個以上的結論與數的本質有關。許多數學家在拉曼努金死後,不斷努力想要證明它們的對錯。

伯恩特從1970年代開始鑽研拉曼努金的檔案,直到20多年後,他仍在努力。這時,他拿到一份手稿,上頭寫著六條引人注意的敘述──正是小野健決心要證明它們是錯誤的敘述。這些敘述把模形式類比為所謂的分割數(partition number):把一個整數分割成一組較小的整數,並使這組整數加總起來的和等於原整數,這種分割方法有多少種,即為原整數的分割數。分割數來自於分拆函數(partion function),就如同其他函數一般,分拆函數描述的是兩件事之間的關係:也就是輸入值x,以及相對應的輸出值f(x)。分拆函數p(n)計算的是某整數n分割成較小正整數的所有可能組合方式。

分拆函數和分割數看起來或許很容易理解,但好幾個世紀以來,理論數學家一直想找到這些數之間的模式,以對它們進行預測、計算,並找出它們和其他函數與定理之間的關係。拉曼努金是第一個真正在這方面有所突破的人,他和哈迪一起設計出能快速推估出分割數近似值的方法。

拉曼努金在1919年的論文裡這樣寫道:「除了這些質數以外,其他的質數所衍生出來的模數(modulus)似乎都不具有這種單純的特質。」這裡所說的「這些質數」是指5、7和11。拉曼努金死後,數學家開始懷疑分割數也許還有不那麼單純的特質,並且想要找出答案。但一直到1990年代晚期,他們只找到少數幾個其他的同餘現象,包括29、173、236,看起來似乎只是隨機的質數或質數的次方。他們開始懷疑這類模式根本無法預測,而且非常、非常稀少。

然而,小野健在努力研究拉曼努金手稿中那六則敘述之後,卻驚訝地發現後人的猜測可能大錯特錯。長久以來,數學家一直相信分割數只跟一小部份的模形式有關。但讓小野健感到困惑的是,拉曼努金的六則敘述卻以一種出人意表的深奧方式,把兩個領域連結起來。因為拉曼努金沒有留下證明,小野健無法直接指認這位天才思考過程裡的謬誤。所以他決定把一些數值輸入拉曼努金在敘述中提到的公式,希望透過實例揭露錯誤。但公式每次都成立,「老天!」小野健不禁驚歎,他了解到拉曼努金一定是對的,「因為你不可能靠創意掰出這樣的東西,而且100次都成立,除非你知道公式成立的原因,一定是這樣。」

本文獲《科學人雜誌》、《科學人粉絲團》授權刊登,原文刊載於此

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責任編輯:朱家儀
核稿編輯:翁世航

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